Matrix Addition & Scalar Multiplication - 선형대수학

• 행렬은 다음과 같이 행(row), 열(column)으로 이루어지며, 표기 시 [aij]mxn처럼 표기한다
• v와 같이 mx1로 표시되는 행렬은 열벡터, w처럼 1xn 형태이면 행벡터이다
• 행렬의 성분이 모두 Real이면 다음과 같이 |Rmxn의 원소라고 표시할 수 있다
• m=n: A=[]mxm : square matrix
• m>n or m<n: rectangular matrix (tall or fat)

Addition & Scalar Multiplication

0. for A, B, C are in R^mxn and c, k are in R
1. A = B if a_ij = b_ij, i=1, ..., m, j=1, ..., n
2. A + B = C, c_ij = a_ij + b_ij for each i, j
   • same as (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, (A)ij = a_ij
   • A + B = B + A (교환 법칙)
     • (A + B)ij = (A)ij + (B)ij
     • = a_ij + b_ij
     • = b_ij + a_ij (실수 연산이니까)
     • = (B)ij + (A)ij = (B + A)ij
   • (A + B) + C = A + (B + C) (결합 법칙)
   • A + O = A (덧셈에 대한 항등원)
   • A + (-A) = O (덧셈에 대한 역원)
3. c * A, (cA)ij = c(A)ij
   • c(A + B) = cA + cB (분배 법칙)
   • (c + k)A = cA + kA (분배 법칙 2)
   • (ck)A = c(kA) (결합 법칙)
   • 1A = A (곱셈에 대한 항등원)
4. (R^mxn, +, *): vector space
   • 집합이 존재하고
   • 집합의 두 원소를 더한 결과가 다시 집합의 원소가 되고
   • 집합의 원소와 스칼라를 곱한 것이 다시 집합의 원소가 되면
   • 해당 집합을 벡터 공간이라고 한다

Product of Matrices

• A = [aij]mxr, B = [bij]rxp (모두 실수)에 대해 AB는 다음과 같이 정의된다
• AB = [cij]mxp, cij = a_i 행벡터와 b_i 열벡터의 내적
• c_ij = for k=1..r sum(a_ik * b_kj)
• 교환 법칙이 성립하지 않음
• 실수에 대한 결합 법칙 성립
• 행렬 간 결합 법칙 성립
• 행렬 분배 법칙 성립

Transpose Matrix

• Definition: B는 A의 전치행렬이다 if (B)ij = (A)ji
• 원래 행렬의 행과 열을 바꿔치기한 형태
• A = [[1 2], [3 4]] => B = [[1 3], [2 4]] = A^T
• (A^T)^T = A
• (A + B)T = A^T + B^T
• (kA)^T = kA^T
• (AB)^T = B^T x A^T