Curvilinear Motion(곡선 운동): Normal and Tangential Components(법선 및 접선 성분)

Reading Quiz

질점이 곡선을 따라 일정한 속력으로 이동할 때, 가속도의 접선 성분은?

A) positive
B) negative
C) zero
D) constant

답은 C) zero.

가속도의 접선 성분(tangential component)은 가속도의 크기를 나타내는 벡터이며, 곡선에서 일정한 속력으로 이동한다 함은 속도의 방향은 변하더라도 크기가 일정하다는 의미이므로, 가속도의 크기는 0이 됩니다.

가속도의 법선 성분(normal component)이 나타내는 것은?

A) 시간에 따른 속도의 크기 변화량
B) 시간에 따른 속도의 방향의 변화량
C) 속도의 크기
D) 전체 가속도의 방향

답은 B) 시간에 따른 속도의 방향의 변화량.

가속도의 법선 성분은 가속도의 방향을 나타내는 벡터이며, 가속도는 시간에 따른 속도의 변화량을 말합니다.

Normal and Tangential Components

파티클이 곡선을 따라 이동할 때, 데카르트 좌표가 아닌 다른 좌표계를 사용하는 게 더 편리할 때가 있습니다. 운동 경로를 알고 있다면, normal(n)과 tangential(t) 좌표가 자주 사용됩니다.

n-t 좌표계에서 파티클 좌표의 원점은 파티클이 움직이면서 함께 변화합니다. t-축은 곡선의 접선(tangent) 방향을 나타내며 파티클이 운동하는 방향 쪽이 양수입니다. n-축은 t-축에 직교하며, 곡선의 곡률 중심(회전 중심) 쪽이 양수입니다.

양수 n, t 방향은 각각 유닛 벡터 u_n, u_t로 표현할 수 있습니다. 회전 중심(곡률 중심) O'은 항상 곡선의 오목면(concave side of the curve)에 존재하며, 회전 반경(곡률 반경, radius of curvature) ρ(rho)는 회전 중심과 곡선의 한 지점에서의 직교 거리입니다.

질점의 순간적인 위치는 거리 s로 정해집니다.

Velocity in the n-t Coordinate System

속도 벡터는 항상 t-방향, 운동 경로의 접선입니다. 속도의 크기는 시간에 따른 경로 함수 s(t)로 나타낼 수 있습니다.

${\nu=vu_t\,\,\,where\,\,\,v=\dot{s}=ds/dt}$

여기서 v는 속도의 크기(속력)를 나타내며 u_t는 속도의 방향 벡터를 나타냅니다.

Acceleration in the n-t Coordinate System

가속도는 시간에 따른 속도의 변화량입니다.

${a=d\nu/dt=d(vu_t)/dt=\dot{v}u_t+v\dot{u_t}}$

여기서 \dot{v}는 속력의 변화량을 나타내며, \dot{u_t}는 방향 벡터 u_t의 변화량을 나타냅니다.

${\dot{u_t}=\dot{\theta}u_n=\frac{\dot{s}\rho}u_n=\frac{v}\rho{u_n}}$ ${a=\dot{v}u_t+(v^2/\rho)u_n=a_tu_t+a_nu_n}$

접선 요소는 곡선의 탄젠트이며 속도가 증감하는 방향입니다.

$\Rightarrow{a_t=\dot{v},\,\,a_tds=vdv}$

법선 요소(normal or centripetal component)는 항상 곡률 중심을 향하며 다음이 성립합니다.

${a_n=v^2/\rho}$

가속도 벡터의 크기는 다음과 같습니다.

${a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}}$

Special Cases of Motion

직선 운동

${\rho\rightarrow\infty\Rightarrow{a_n}=v^2/\rho=0\Rightarrow{a}=a_t=\dot{v}}$

접선 요소는 시간에 대한 속도의 크기 변화량이 됩니다.

등속원 운동과 같이 곡선을 따라 같은 속력으로 이동하는 경우

${a_t=\dot{v}=0\Rightarrow{a=a_n=v^2/\rho}}$

법선 요소가 시간에 대한 속도의 방향 변화량을 나타냅니다.

등가속도 운동. 가속도의 접선 요소가 상수인 경우, a_t=(a_t)_c

${s=s_0+v_0t+(1/2)(a_t)_ct^2}$

${v=v_0+(a_t)_ct}$

${v^2=(v_0)^2+2(a_t)_c(s-s_0)}$

Path가 y=f(x)와 같이 표현될 때

곡률 반경 ρ는 다음과 같이 계산됩니다. 형태가 어려워 시험 등에서는 공식을 준다고 합니다.

${\rho=\frac{[1+(dy/dx)^2]^{3/2}}{|d^2y/dx^2|}}$

Three-Dimensional Motion: Binormal component(종법선 성분)

파티클이 공간 곡선을 지날 때 n와 t 축은 이전과 같이 정의되며 두 축이 이루는 평면은 오실레이션 평면(osculating plane)이 됩니다.

또한, 세 번째 축 binomial 축 b를 정의할 수 있으며 단위 벡터는 u_b이고 이는 오실레이션 평면에 직교합니다. 단위 벡터 u_b는 다음과 같이 벡터 곱 형태로 나타냅니다.

${u_b=u_t\times{u_n}}$

Example 12.14

스키를 타는 사람이 A 지점에 도달했을 때 속력이 6m/s이고 2m/s^2의 가속도를 가집니다. 이 순간 이 사람의 속도의 방향과 가속도의 방향, 크기를 구하세요.

속도의 방향

y=(1/20)x^2이며, A의 위치는 (10, 5)이므로

${y'=\frac1{10}x,\,\,x=10,\,\,y'=1}$

$\Rightarrow{\theta=\tan^{-1}1=45\degree}$

$\therefore{v_A=6m/s\,\,45\degree}$

가속도의 방향, 크기

경로가 y=(1/20)x^2으로 정해져있기 때문에 다음이 성립합니다.

${\rho=\frac{[1+(dy/dx)^2]^{3/2}}{|d^2y/dx^2|},\,\,x=10m}$

$\Rightarrow{\rho=\frac{[1+(\frac1{10}x)^2]^{3/2}}{|\frac1{10}|}=28.28m}$

가속도는 다음과 같아집니다.

${a_A=\dot{v}u_t+\frac{v^2}{\rho}u_n=2u_t+\frac{(6m/s)^2}{28.28m}u_n}$

${={2u_t+1.273u_n\,\,m/s^2}$

${a=\sqrt{(2m/s^2)^2+(1.273m/s^2)^2}=2.37m/s^2}$

${\phi=\tan^{-1}\frac{2}{1.273}=57.5\degree,\,45+90+57.5-180=12.5\degree}$

${\therefore{a}=2.37\,m/s^2\,\,12.5\degree}$

Example 12.15

레이싱카 C가 반지름 300m의 원형 트랙을 이동하고 있다. 자동차가 멈춘 상태에서 출발하여 1.5m/s^2의 비율로 속력이 커질 때, 가속도가 2m/s^2가 되는 데에 걸리는 시간을 구하시오. 또한 해당 시점의 속력은 얼마인가요?

시간

${a=\sqrt{a_t^2+a_n^2},\,\,a_t=1.5m/s^2,\,\,a_n={v^2}/{\rho}}$

${v=v_0+(a_t)_ct=0+1.5t}$

${\Rightarrow{a_n}=\frac{v^2}{\rho}=\frac{(1.5t)^2}{300}=0.0075t^2m/s^2}$

${2m/s^2=\sqrt{(1.5m/s^2)^2+(0.0075t^2)^2}}$

$\Rightarrow{0.0075t^2=\sqrt{(2m/s^2)^2-(1.5m/s^2)^2}}$

$\therefore{t=13.28s=13.3s}$

속력

${v=1.5t=1.5(13.28)=19.9m/s}$

Example 12.16

박스가 컨베이어 벨트를 따라 t=0 시점에서 멈춰있다가 a_t = (0.2t) m/s^2의 가속도로 이동할 때, B 지점에 도달했을 때의 가속도의 크기를 구하세요.

먼저 접선 성분은 v'이라는 점을 이용하여 속도의 방정식을 구합니다.

${a_t=\dot{v}=0.2t\,\,m/s^2}$

$\Rightarrow{\int_0^vdv=\int_0^t0.2t\,dt}$

$\Rightarrow{v=0.1t^2}$

이제 B에 도달하는 시점을 구해봅시다. B의 길이는 3 + 2pi * 2 / 4 = 6.142m로 구해집니다.

${v=\frac{ds}{dt}=0.1t^2}$

$\Rightarrow{ds=0.1t^2,\,\,\int_0^{6.142}ds=\int_0^{t_B}0.1t^2dt}$

$\Rightarrow{s=\frac1{30}t^3,\,\,6.142=\frac1{30}t_B}$

$\therefore{t_B=5.690s}$

이제 5.69s 시점에서 가속도의 방향 벡터(법선 성분) a_n을 구해봅시다.

${a_n=\frac{v^2}{\rho}=\frac{(0.1t)^2}{\rho},\,\,a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}}$

B 지점에서 시간은 5.69s, rho는 2m입니다.

${(a_B)_n=5.242m/s^2,\,\,(a_B)_t=1.138m/s^2}$

$\therefore{a_B=5.36m/s^2}$

Attention Quiz

가속도의 법선 성분의 크기는

A) 곡률 반경에 비례
B) 곡률 반경에 반비례
C) 때때로 음수
D) 속도가 상수일 때 0

정답은 B).

가속도의 법선 성분은 V^2/rho입니다. 항상 양수이며 속도가 상수일 때도 양수이며 곡률 반경 rho에 반비례합니다.

가속도와 속도의 접선 방향은 항상

A) 서로 직교
B) 동일 선상
C) 같은 방향
D) 반대 방향

정답은 B).

가속도와 속도는 가속할 때 같은 방향, 감속할 때 정반대 방향입니다. 따라서 동일 선상에 존재한다고 할 수 있습니다.

Curvilinear Motion: Cylindrical Components(원통 성분)

Reading Quiz

극좌표계에서 속도 벡터는 다음과 같이 생겼습니다.

${\nu=v_ru_r+v_{\theta}u_{\theta}=\dot{r}u_r+r\dot{\theta}u_{\theta}}$

\dot{\theta}는 무엇일까요

A) 횡속도(transverse velocity)
B) 시선 속도(radial velocity)
C) 각속도(angular velocity)
D) 각가속도(angular acceleration)

정답은 C).

속도의 미분은 각속도입니다.

원통 좌표계에서 파티클의 속력은?

A) $\dot{r}$
B) $r\dot{\theta}$
C) $\sqrt{(r\dot\theta)^2+(\dot{r})^2}$
D) $\sqrt{(r\dot\theta)^2+(\dot{r})^2+(\dot{z})^2}$

정답은 D).

원통 좌표계는 r, theta, z로 이루어진 좌표계로 속도 벡터의 크기는 D)와 같습니다.

Polar Coordinates: Position

극좌표계(Polar Coordinate System)은 원통 좌표계(Cylindrical Coordinate System)의 2-D 표현입니다. 반경 거리 r은 상수가 아니며, 파티클의 운동 경로를 표현할 때 사용됩니다.

극좌표계에서 위치 P는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${r=\mathrm{r}u_r}$

r은 고정된 원점 O로부터 측정한 반경 방향(radial direction)이며, theta는 ㅕ반시계 방향으로 측정된 횡좌표(transverse coordinate)입니다.

Polar Coordinates: Velocity(속도)

${\nu=dr/dt=d(\mathrm{r}u_r)/dt}$

$\Rightarrow{\nu=\dot{r}u_r+r\frac{du_r}{dt}}$

chain rule을 사용합시다.

${du_r/dt=(du_r/d\theta)(d\theta/dt),\,\,du_r/d\theta=u_{\theta}$

$\therefore{\nu=\dot{r}u_r+r\dot\theta{u_{\theta}}}$

magnitude of velocity

${\nu=\sqrt{(r\dot\theta)^2+(\dot{r})^2}}$

Polar Coordinates: Acceleration(가속도)

${a=d\nu/dt=(d/dt)(\dot{r}u_r+r\dot\theta{u_{\theta})}}$

${a=(\ddot{r}-r\dot\theta^2)u_r+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta)u_{\theta}$

Cylindrical Coordinates

포지션은 다음과 같다.

${r_p=\mathrm{r}u_r+\mathrm{z}u_z}$

속도와 가속도

${\nu_P=\dot{\mathrm{r}}u_r+\mathrm{r}\dot\theta{u_{\theta}}+\dot{\mathrm{z}}u_z}$ ${a_P=(\ddot{\mathrm{r}-\mathrm{r}\dot\theta^2})u_r+(\mathrm{r}\ddot\theta^2+2\dot{\mathrm{r}}\dot\theta)u_{\theta}+\dot{\mathrm{z}}u_z}$

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Reading Quiz

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Velocity in the n-t Coordinate System

Acceleration in the n-t Coordinate System

Special Cases of Motion

직선 운동

등속원 운동과 같이 곡선을 따라 같은 속력으로 이동하는 경우

등가속도 운동. 가속도의 접선 요소가 상수인 경우, a_t=(a_t)_c

Path가 y=f(x)와 같이 표현될 때

Three-Dimensional Motion: Binormal component(종법선 성분)

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속도의 방향

가속도의 방향, 크기

Example 12.15

시간

속력

Example 12.16

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Polar Coordinates: Position

Polar Coordinates: Velocity(속도)

Polar Coordinates: Acceleration(가속도)

Cylindrical Coordinates

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등속원 운동과 같이 곡선을 따라 같은 속력으로 이동하는 경우

등가속도 운동. 가속도의 접선 요소가 상수인 경우, a_t=(a_t)_c

Path가 y=f(x)와 같이 표현될 때

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