[응용수학II] Exact ODEs, Linear ODEs and Bernoulli ODEs (완전 상미분 방정식, 선형 상미분 방정식과 베르누이 상미분 방정식)

Exact ODEs Review

• Integrating Factor(IF, 적분 인자)
• Reduction to Exact Form

위 미분 방정식에 F(x,y)를 곱했을 때,

이면 Exact Form이 존재합니다. 위 식은 해결이 곤란하니 F(x,y)=F(x)라고 가정하면,

 

가 되고,

가 됩니다. 여기서 다시 한 가지 가정이 들어갑니다. 해당 식이 x에 관한 함수 R(x)로 표현된다고 가정해봅시다.

 

 

적분 인자는 General Form일 필요가 없으니 원래 식에 적분 인자를 곱했을 때 식을 가장 단순하게 만들어 줄 값을 c로 적용하면 됩니다.

이제 적분 인자를 구했으니, 원래의 식에 이를 곱하면 Exact Form이 됩니다.

Example 1

 

 

 

 

F(x,y)를 굳이 F(x)로만 고집할 필요는 없습니다. F(y)로 만들어봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Linear ODEs (선형 상미분 방정식)

• y 함수와 n계 도함수가 그것의 일차식으로 이루어지면 이를 Linear하다고 표현합니다.
• y'+p(x)y=r(x): 일계 선형 미분 방정식의 General Form

1. r(x)=0 => homogeneous (제차 선형 미분 방정식)

 

변수 분리형 형태로 풀어낼 수 있습니다.

2. r(x)=\=0 => non-homogeneous (비제차 선형 미분 방정식)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

해당 공식을 외우기 보단, 위 식을 유도하는 과정이 더욱 중요합니다. Linear 문제를 10 문제 정도 풀어보다보면 익숙해질 것입니다.

Example 3

 

 

검산

 

Example 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bernoulli DE (Reduction to Linear)

베르누이 미분 방정식은 선형 미분 방정식이 아닙니다.

치환으로 해결할 수 있습니다.

 

따라서 베르누이 미분 방정식은 u에 관한 일계 선형 미분 방정식으로 변환됩니다.

Example 5