변수 분리형 1계 미분방정식 리뷰

1계 미분 방정식의 형태를 g(y)y'=f(x) 혹은 g(y)dy=f(x)dx로 나타낼 수 있으면 해당 미분 방정식은 변수 분리형으로 풀이가 가능합니다.

$\int{g(y)dy=\int{f(x)dx}}$ $\Rightarrow{G(x)}=F(x)+c$

추가적으로 위 일반해는 변수 분리형 1계 미분 방정식이 갖는 모든 해를 의미합니다. 따라서 초깃값 문제(IVP, Initial Value Problem)나 경계치 문제라면 c를 고정하여 유일해를 얻을 수 있습니다.

1계 미분 방정식이 변수 분리형 꼴이 아닐지라도, y'=f(y/x) 꼴로 나타낼 수 있으면 u=y/x로 치환하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$y'=f(\frac{y}{x}),\\,\frac{y}{x}=u,y=ux$ $\Rightarrow{u'x+u=f(u)}$

위 식은 함수 u를 찾는 미분 방정식이며, 변수 분리형의 형태가 됩니다. 따라서 다음과 같은 과정을 거쳐 u(x)를 얻을 수 있습니다.

${\frac{1}{f(u)-u}u'=\frac{1}{x}}$

u(x)를 얻은 뒤에는 다시 u=y/x로 치환하여 일반해를 얻을 수 있습니다. 이러한 과정을 reduction to separable이라고 합니다.

Example 5

${2xyy'=y^2-x^2,\\,\\,2y'=\frac{y}{x}-\frac{x}{y},\\,\\,u=\frac{y}{x}}$ $\Rightarrow{2y'=-\frac{1}{u},\,\,y'=\frac{1}{2}(u-\frac{1}{u})=u'x+u}$ $\Rightarrow{\frac{2u}{u^2+1}u'=-\frac{1}{x},\,\,2\int\frac{u}{u^2+1}du=-\int\frac{1}{x}dx}$ $\Rightarrow{\ln(u^2+1)=-\ln|x|+c,\,\,(u^2+1)|x|=e^c}$ $\Rightarrow{(u^2+1)x=c,\,\,\frac{y^2}{x}+x=c,\,\,y^2+x^2=cx}$ $\therefore{(x-\frac{c}{2})^2+y^2=\frac{c^2}{4}}$

Example 6

${(2x-4y+5)y'+(x-2y+3)=0,\,\,x-2y=u,\,\,y'=\frac{1}{2}(1-u')}$ $\Rightarrow{(2u+5)(1-u')+(2u+6)=0}$

위 식은 x가 없는, autonomous 식이 됩니다.

$\Rightarrow{(2u+5)u'=4u+11,\,\,\frac{2u+5}{4u+11}du=dx}$ $\Rightarrow{\int\frac{2u+5}{4u+11}du=\int{dx}}$ $\Rightarrow{\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\int\frac{4}{4u+11}du=\frac12u-\frac18\ln|4u+11|=x+c}$ $\Rightarrow{4u-\ln|4u+11|=8x+c}$ $\Rightarrow{4x+8y+\ln|4x-8y+11|=c}$

Exact ODEs(완전 미분 방정식)

${u(x,y)=c^1-F(x,y)}$

c^1은 한 번 연속 미분 가능한 함수로, 미분 후 도함수가 연속 함수가 되는 함수를 의미합니다.

${du=f_xdx+f_ydy}$

du는 total differential, 즉 x에 관한 편도함수, y에 관한 편도함수가 연속인 경우를 말합니다.

만약 u(x, y) = c와 같이 제한되면, 해당 2변수함수(공간 상 곡면의 방정식)는 x, y 평면에 평행한 평면으로 잘랐을 때의 곡선을 의미합니다.

즉, x 값이 결정되면 y 값이 결정되기 때문에 더이상 둘은 독립변수가 아니며 음함수처럼 표현됩니다. y=x의 함수라고 할 수 있고, du = 0이 됩니다.

${u(x,y)=x+x^2y^3=c}$ $\Rightarrow{du=(1+2xy^3)dx+(3x^2y^2)dy=0}$ $\Rightarrow{(1+2xy^3)+(3x^2y^2)y'=0}$

미분 방정식이 완성되었습니다. 그러나 이미 해를 알고 있습니다.

${x+x^2y^3=c}$

답보다는 이렇게 유도되는 과정이 중요합니다.

완전 미분 방정식 유도하기

주어진 미분 방정식 M(x, y) + N(x, y)y' = 0에서 다음을 만족하는 함수 u(x, y)가 존재한다고 가정합니다.

${u_x=M(x,y),\,\,{u_y}=N(x,y)}$

이런 조건을 만족하면 u(x, y) = c가 미분 방정식의 일반해가 됩니다. 이러한 형태의 미분 방정식을 완전 미분 방정식 이라고 합니다.

그렇다면 이러한 u(x, y)가 존재한다는 사실을 어떻게 알 수 있을까요? 학부 수준에서는 이론적 증명 대신 값을 대입하여 찾는 방식을 선호하지만, 존재할지 알 수 없는 값을 대입하여 찾기에는 무리가 있습니다.

해야할 과정은 다음과 같습니다.

if ___, then DE is exact form.
find u(x, y)

완전 미분 방정식 판별

클레로 정리의 도움을 받겠습니다.

${If\,\,there\,\,exists\,\,c^2\,\,u(x,y)\,\,such\,that\,\,u_x=M,\,\,u_y=N}$ ${then\,\,M_y=N_x}$ ${Pf.\,\,M=u_x\Rightarrow{M_y}=u_xy}$ ${N=u_y\Rightarrow{N_x}=u_yx}$ ${u_{xy}=u_{yx}\,\,if\,\,u_{xy},\,\,u_{yx}\,\,exists\,\,and\,\,u_{xy},\,\,u_{yx}\,\,are\,\,continuous}$

만약 클레로 정리의 역이 성립한다면 다음과 같아집니다.

${M_y=N_x\rightarrow\,\,there\,\,exists\,\,c^2\,\,u(x,y)\,\,s.t.\,,{u_x}=M,u_y=N}$

클레로 정리의 역은 다음과 같은 가정 속에서 성립합니다.

${If\,\,M_y=N_x\,\,on\,\,(x,y)\in{D}\subset{\mathbb{R}^2}}$ ${then\,\,there\,\,exists\,\,u(x,y)\,\,s.t.\,,{u_x}=M,u_y=N}$ ${\Leftrightarrow\,\,the\,\,DE\,\,is\,\,exact}$

정의역 D는 simply connected 형태여야 합니다.

How to solve the DE?

${(x^3+3xy^2)dx+(3x^2y+y^3)dy=0}$ $\Rightarrow{(x^3+3xy^2)+(3x^2y+y^3)y'=0}$ ${M_y=6xy,\,\,N_x=6xy,\,\,M_y=N_x}$

그러므로 위 미분 방정식은 완전 미분 방정식입니다.

${u_x=M,\,\,u_y=N,\,\,\int{u_x}dx=\int{M}dx=u(x,y)}$ $\Rightarrow{u(x,y)=\frac14x^4+\frac32x^2y^2+g(y)}$

g(y)는 y에 관한 함수입니다.

${u_y=3x^2y+g'(y)=3x^2y+y^3}$ $\Rightarrow{g'(y)=y^3,\,\,g(y)=\frac14y^4+c}$ $\Rightarrow{u(x,y)=\frac14x^4+\frac32x^2y^2+\frac14y^4=c}$ $\therefore{u(x,y)=x^4+6x^2y^2+y^4=c}$

Example 2

${\sin(x)\cosh(y)dx-\cos(x)\sinh(y)dy=0}$ $\Rightarrow{M_y=\sin(x)\sinh(y),N_x=\sin(x)\sinh(y),M_y=N_x}$ $\Rightarrow{u(x,y)=\int\sin(x)\cosh(y)dx=-\cos(x)\cosh(y)+g(y)}$ $\Rightarrow{u_y=-\cos(x)\sinh(y)+g'(y)=-\cos(x)\sinh(y)}$ $\Rightarrow{g'(y)=0,g(y)=c}$ $\therefore{u(x,y)=-\cos(x)\cosh(y)=c}$

reduction to exact form

${-ydx+xdy=0}$ $\Rightarrow{-1\ne1}$

exact form이 아닙니다. 하지만 양 변에 -1/x^2을 곱하면 어떻게 될까요?

${\frac{y}{x^2}dx-\frac1{x}dy=0}$ $\Rightarrow{\frac1{x^2}=\frac1{x^2}}$

놀랍게도 exact form이 됩니다. 그렇다면 과연 양 변에 어떤 값을 곱하여야 exact form으로 만들 수 있는 것일까요?

${P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$

양 변에 2변수함수 F(x,y)를 곱합니다. 이렇게 곱해지는 F(x,y)를 Integrating Factor(적분인자)라고 합니다.

$\Rightarrow{FPdx+FQdy=0}$

이를 각각 y로 미분, x로 미분하여 exact form이 존재하는지 찾아봅니다. 다음 식이 성립하는 F(x,y)를 찾으면 exact form이 존재합니다.

${(FP)_y=(FQ)_x,\,\,F_yP+FP_y=F_xQ+FQ_x}$

이는 너무나도 찾기 어렵습니다. 탐색 범위를 2변수함수 F(x,y)가 아닌 F(x)로 좁혀봅니다. 그러면 F_y가 소거되면서 다음과 같아집니다.

${FP_y=F_xQ+FQ_x,\,\,\frac{F_x}F=\frac{P_y-Q_x}{Q}}$ ${\frac{P_y-Q_x}{Q}=R(x)}$

위 식이 다음과 같이 x에 관한 식이 되면 아래 식이 성립합니다.

$\Rightarrow{\int\frac{F_x}Fd=\int{R(x)dx},\,\,\ln|F|=\bar{R}(x)+c}$ $\therefore{F(x)=c\cdot{e}^{\bar{R}(x)}}$

F(x)로 시도했을 때 R(x)가 성립하지 않는다면 F(y)로 R(y)가 성립하는지 다시 시도해봅니다.

이후 u(x,y)를 찾습니다.... 넘 길엉

Example 3

${(e^{x+y}+ye^y)dx+(xe^y-1)dy=0}$ $\Rightarrow{e^{x+y}+(y+1)e^y\ne{e^y}}$

not a exact form

${F(e^{x+y}+ye^y)dx+F(xe^y-1)dy=0}$ $\Rightarrow{F_y(e^{x+y}+ye^y)+F(e^{x+y}+(y+1)e^y)=F(e^y)}$

인 F(y)가 존재한다면,

${\frac{F_y}{F}=R(y)=-1}$ $\Rightarrow{F(y)=ce^{-y}}$

이제 u(x,y)의 일반해를 구하면 됩니다...

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