12.4-12.5 곡선운동 Path graph

곡선 운동에서도 시간 변화에 대한 위치 변화를 변위라고 하며, 다음 식들이 성립합니다.

$\Delta{r}=r'-r$ $v_{avg}=\Delta{r}/\Delta{t}$ $v=dr/dt$

Path 그래프의 tan은 속도, arctan은 각도입니다.

Hodograph

$\Delta{v}=v'-v$ $a_{avg}=\Delta{v}/\Delta{t}$ $a=dv/dt=d^2r/dt^2$

Hodograph의 tan은 가속도, arctan은 각도입니다.

Rectangular Components: Position

파티클의 움직임은 고정 기준 좌표계의 x, y, z(직각 성분, rectangular components)로 나타내는 게 간편하며, 포지션 벡터를 사용해서 다음과 같이 파티클의 위치를 나타낼 수 있습니다.

$r=xi+yj+zk$

x, y, z 성분은 다음과 같이 시간에 관한 함수일 수 있습니다.

$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

포지션 벡터의 크기는 유클리드 거리를 이용하여 구합니다.

$r=$x^2+y^2+z^2$^{0.5}$

위치 벡터의 방향은 유닛 벡터로 정의됩니다.

$u_r=(1/r)r$

Rectangular Components: Velocity

속도 벡터는 위치 벡터를 시간에 대하여 미분한 값입니다.

$v=dr/dt=d(xi)/dt+d(yj)/dt+d(zk)/dt$

단위 벡터 i, j, k의 크기와 방향은 상수이기 때문에 해당 식은 다음과 같이 변형됩니다.

$v=v_xi+v_yj+v_zk$ $v_xi=\dot{x}=dx/dt,\\,\\,v_yj=\dot{y}=dy/dt,\\,\\,v_zk=\dot{z}=dz/dt$

속도 벡터의 크기는 각각의 속도 벡터의 유클리드 거리입니다.

$v=[$v_x$^2+$v_y$^2+$v_z$^2\)]^{0.5}$

속도 벡터의 방향은 이동 경로의 탄젠트입니다.

Rectangular Components: Acceleration

가속도 벡터는 시간으로 속도 벡터를 미분한 것입니다.

$a=dv/dt=d^2r/dt^2=a_xi+a_yj+a_zk$ $a_x=\dot{V_x}=\ddot{x}=dv_x/dt,\\,\\,a_y=\dot{V_y}=\ddot{y}=dv_y/dt,\\,\\,a_z=\dot{V_z}=\ddot{z}=dv_z/dt$

가속도 벡터의 크기는 다음과 같습니다.

$a=[$a_x$^2+(a_y\)^2+(a_z\)^2]$

Concept Quiz

1. 파티클의 위치가 r = [(1.5t^2 +1 )i + (4t - 1)j] (m)일 때, t = 1s에서의 속력은 ____ 이다.

$v=3ti+4j(m/s),t=1$

속력은 속도의 크기이므로,

$v_1=\sqrt{3^2+4^2}=5$

2. 파티클의 경로가 y = 0.5x^2으로 정해져있다. x = 2m x축 속도 v_x = 1 m/s일 때, 해당 위치에서 y축 속도는 ___ 이다.

$y=0.5x^2,\\,\\,\dot{y}=x\dot{x}$ $x=2,\\,\dot{x}=1\Rightarrow{v_y}=2\\,$m/s$$

Example

Example 12.9

날씨 풍선의 좌표는 모든 순간에 x = (2t) m (t는 초)를 따른다고 할 때, 경로가 y = x^2 / 5를 따르면 t = 2 s일 때 속도 벡터, 가속도 벡터의 크기와 방향을 구하시오.

Velocity

$v_x=\dot{x}=2m/s\rightarrow$ $v_y=2x\dot{x}/5\uparrow,\\,\\,t=2,\dot{x}=2,x=4\Rightarrow{v_y}=3.20m/s\uparrow$ $v=\sqrt{2^2+3.2^2}=3.77m/s$ $\theta_v=\tan^{-1}\frac{v_y}{v_x}=\tan^{-1}\frac{3.2}{2}=58.0\degree$

Acceleration

$a_x=\dot{v_x}=0\\,m/s^2\rightarrow$ $a_y=\dot{v_y}=\frac25$\dot{x}\dot{x}+x\ddot{x}$\uparrow$ $(a_y)_2=\frac25$2*2+4*0$=1.60m/s^2\uparrow$ $a=\sqrt{0^2+1.6^2}=1.6m/s^2$ $\theta_a=\tan^{-1}\frac{a_y}{a_x}=\tan^{-1}\frac{1.6}{0}=90\degree$

Example 12.10

짧은 시간 동안 비행기의 경로가 y = (0.001x^2)m를 따릅니다. 비행기가 10 m/s 속도로 위를 향할 때, y = 100 m에 도달한 시점의 속도와 가속도 벡터의 크기를 구하세요.

Velocity

$v_y=0.002x\dot{x}$ $y=v_y\cdot{t},\\,\\,100m=10m/s\cdot{t},\\,\\,t=10s$ $y=0.001x^2,\\,\\,100m=0.001x^2,\\,\\,x=316.2m$ $10m/s=0.002$316.2*\dot{x}$,\\,\\,v_x=15.81m/s$ $v=\sqrt{15.81^2+10^2}=18.7m/s$

Acceleration

$v_y=10m/s, a_y=\dot{v_y}=0$ $a_y=0.002$v_x^2+xa_x$=0,\\,\\,a_x=-15.81^2/316.2=-0.791m/s^2$ $a=\sqrt{0+$-0.791$^2}=0.791m/s^2$

Attention Quiz

1. 파티클이 A에서 B로 원의 경로를 그리며 4초 간 이동하였다. 파티클의 평균 속도는 얼마인가?

평균 속도는 시작점과 끝점, 이동 시간만 고려하면 됩니다.

$v_x=10m/4s=2.5m/s$ $v_y=0,\\,\\,v=2.5im/s$

2. 파티클의 위치가 r = (4t^2 - 2xj) m로 주어졌을 때, 파티클의 가속도를 구하시오.

먼저 v_x, a_x를 구합니다.

$v_x=8t,\\,\\,a_x=8$

x를 나타내는 4t^2을 y=-2x에 대입하여 v_y, a_y를 구합니다.

$v_y=-16t,\\,\\,a_y=-16$

가속도는 다음과 같습니다.

$$8\\,i-16\\,j$\\,m/s^2$

12.6 Motion of a Projectile (포물선 운동)

Reading Quiz

1. 자유 낙하 운동을 하는 물체의 수직 아래 방향 가속도는 얼마인가?

자유 낙하 운동을 하는 물체는 중력 가속도의 영향만을 받습니다. 중력 가속도는 9.81 m/s^2입니다.

2. 자유 낙하 운동 중 속도의 수평 성분 ___ 이다.

앞서 말했듯 자유 낙하 운동을 하는 물체는 중력 가속도 이외의 힘을 받지 않기 때문에 (공기저항을 무시한다면) 이는 상수값이 됩니다. 무조건 0이 아닌 이유는 자유 낙하 운동에 포물선 운동이 포함되기 때문입니다.

Applications

좋은 키커는 본능적으로 어떤 각도(theta)로, 어느 정도 힘(v_A)으로 공을 차야 골대에 들어가는지 알고 있습니다.

위 그림 상황에서 s는 다음과 같습니다.

$v_{Ax}=v_A\cos\theta,\\,\\,v_{Ay}=v_A\sin\theta$ $x=x_A+v_{Ax}\\,t,\\,y=y_A+v_{Ay}\\,t-\frac12g$t$^2$

A = (0,0)이라고 하면,

$x=0+v_A\cos\theta{t}=48m,\\,\\,\\,y=0+v_A\sin\theta{t}=6m$ $v_A\cos\theta{t}=8*v_A\sin\theta{t},\\,\\,\cos\theta=8\sin\theta$ $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\\,\\,sin^2\theta=\frac{1}{65},\\,\\,\theta=\arcsin$\sqrt{1/65}$=0.12435499454\\,rad$ $\cos\theta=0.99227787671,\sin\theta=0.12403473458249924$

등등등..

Kinematic Equations: Horizontal Motion(수평운동)

a_x = 0이기 때문에 수평 운동의 속도는 상수로 남습니다. x 방향의 위치는 다음과 같이 설정됩니다.

$v_x=v_{0x}$ $x=x_0+(v_{0x})(t)$

Kinematic Equations: Vertical Motion(수직운동)

y 축으로 작용하는 가속도는 중력 가속도 뿐입니다. 다음과 같은 식이 성립합니다.

$v_y=v_{0y}-gt$ $y=y_0+(v_{0y})t-\frac12gt^2$

위 두 식으로 통해 아래 식을 유도할 수 있습니다.

$v_y^2=v_{0y}^2-2g(y-y_0)$

y에 관한 독립 방정식은 2개이므로 위 세 방정식 중 두 개만 사용할 수 있습니다. x, y에 관한 독립 방정식은 3개이므로 x, y에 관해 3개의 미지수까지 풀어낼 수 있습니다.

Example

v_0과 theta가 주어졌을 때, x에 관한 함수로 이루어진 y를 찾으세요. (힌트: 방정식에서 시간과 관련된 부분을 제거하세요.)

$v_x=v_0\cos\theta,\\,v_y=v_0\sin\theta$

로부터 x, y의 식을 표현할 수 있습니다.

$x=(v_0\cos\theta)t,\\,y=(v_0\sin\theta)t-\frac12gt^2$ $t=\frac{x}{v_0\cos\theta},\\,\\,y=(v_0\sin\theta)(\frac{x}{v_0\cos\theta})-(\frac{g}2)(\frac{x}{v_0\cos\theta})^2$ $y=(x\tan\theta)-(\frac{gx^2}{2v_0^2})(1+\tan^2\theta)$

Concept Quiz

1. 포물선 운동 문제에서 최대 얼마나 많은 미지수를 찾을 수 있을까요?

x, y에 관한 독립 식이 3개 있기 때문에 최대 3개의 미지수를 찾을 수 있습니다.

2. 지면에서 v_0의 속도, theta의 각도로 발사된 물체가 포물선 운동하여 다시 땅으로 떨어지는데 걸리는 시간은 얼마일까요?

$y=(v_{0y})t-\frac12gt^2=0$ $2v_0\sin\theta=gt,\\,t=(2v_0\sin\theta)/g$

Example

Example 12.11

모래주머니가 미끄럼틀을 타고 다음과 같이 수평속도 12m/s로 떨어진다. 미끄럼틀의 높이가 바닥에서부터 6m일 때 모래주머니가 놓이는 거리 R을 구하시오.

$v_{x}=12m/s,\\,\\,v_{y}=-gt$ $y=-\frac12gt^2,\\,\\,-6m=-9.81/2t^2,\\,\\,t=1.11s$ $x=12t,\\,\\,R=13.32m$

Example 12.12

분쇄기가 나무조각을 v_0 = 7.5 m/s의 속도로 배출합니다. 튜브가 수평으로 30도 각도를 이루고 있고, 지면으로부터 높이가 1.2m, 톱밥이 튜브에서 6m 떨어진 곳에 쌓일 때 톱밥의 높이를 구하세요.

$v_x=7.5\cos30\degree=\frac{15\sqrt2}{4}=6.50m/s\rightarrow$ $v_y=7.5\sin30\degree=\frac{15}4=3.75m/s\uparrow$ $x=x_0+6.50\\,t\\,m=6.50\\,t\\,m$ $y=y_0+3.75\\,t-\frac12gt^2\\,m=1.2+3.75\\,t-\frac12gt^2\\,m$

Example 12.13

오토바이가 30도 각도로 점프할 수 있는 점프대의 높이는 1m이다. 라이더가 이 점프대에서 점프한 뒤 1.5s 동안 공중에 있었다고 할 때, 초기 속도와 수평거리, 최고 높이를 구하시오. 바이크와 라이더의 크기는 무시합니다.

초기 위치 A는 (0, 1)로 설정합니다.

$v_x=\frac{\sqrt3v_A}{2},\\,\\,v_y=\frac{v_A}{2}-gt$ $x=\frac{\sqrt3v_A}{2}t,\\,\\,y=1+\frac{v_A}{2}t-gt^2$

초기 속도

B 위치에서 y = 0, t = 1.5s이므로,

$\Rightarrow{v_A}=13.381m/s$

수평 거리

$x_B=x_A+(v_A)_xt$ $\Rightarrow{R}=0+\frac{13.381\sqrt2}2t+\frac12a_ct^2$

최고 높이

C 위치에서 속도 v_y는 0이므로,

$v_{Cy}^2=v_{Ay}^2+2a_C(y_C-y_A)$ $\Rightarrow0=(13.381\sin30\degree)^2+2(-9.81)(h-1),h=3.281m$

Attention Quiz

1. 포물선이 다음과 같이 주어지면 다시 지면에 맞부딪쳤을 때의 속도는 초기 속도보다 ___하다.

속도는 최고 높이까지 점점 작아지다가 이후 점점 커져 y_A에 도달했을 때 v_A와 같아집니다. 높이가 더 높기 때문에 작아집니다.

2. 초기 속도 v_0 파티클이 최고 높이에 도달하기 위한 theta는 얼마일까요?

답은 90도입니다. 가장 멀리 도달하기 위한 theta는 45도이나, 빠르고 작은 공의 경우 공기저항을 받아 이보다 조금 작아집니다.

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[동역학] Curvilinear Motion(곡선 운동), Projectile Motion(포물선 운동)

12.4-12.5 곡선운동 Path graph

Hodograph

Rectangular Components: Position

Rectangular Components: Velocity

Rectangular Components: Acceleration

Concept Quiz

1. 파티클의 위치가 r = [(1.5t^2 +1 )i + (4t - 1)j] (m)일 때, t = 1s에서의 속력은 ____ 이다.

2. 파티클의 경로가 y = 0.5x^2으로 정해져있다. x = 2m x축 속도 v_x = 1 m/s일 때, 해당 위치에서 y축 속도는 ___ 이다.

Example

Example 12.9

Velocity

Acceleration

Example 12.10

Velocity

Acceleration

Attention Quiz

1. 파티클이 A에서 B로 원의 경로를 그리며 4초 간 이동하였다. 파티클의 평균 속도는 얼마인가?

2. 파티클의 위치가 r = (4t^2 - 2xj) m로 주어졌을 때, 파티클의 가속도를 구하시오.

12.6 Motion of a Projectile (포물선 운동)

Reading Quiz

1. 자유 낙하 운동을 하는 물체의 수직 아래 방향 가속도는 얼마인가?

2. 자유 낙하 운동 중 속도의 수평 성분 ___ 이다.

Applications

Kinematic Equations: Horizontal Motion(수평운동)

Kinematic Equations: Vertical Motion(수직운동)

Example

Concept Quiz

1. 포물선 운동 문제에서 최대 얼마나 많은 미지수를 찾을 수 있을까요?

2. 지면에서 v_0의 속도, theta의 각도로 발사된 물체가 포물선 운동하여 다시 땅으로 떨어지는데 걸리는 시간은 얼마일까요?

Example

Example 12.11

Example 12.12

Example 12.13

초기 속도

수평 거리

최고 높이

Attention Quiz

1. 포물선이 다음과 같이 주어지면 다시 지면에 맞부딪쳤을 때의 속도는 초기 속도보다 ___하다.

2. 초기 속도 v_0 파티클이 최고 높이에 도달하기 위한 theta는 얼마일까요?

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