Polar Coordinates(극좌표계)

원점이 고정되어 존재하고 , 원점에 대해 곡선운동을 하는 물체는 Polar Coordinates를 사용하여 표현합니다.

${\mathrm{r}=ru_r}$

반경 방향(radial direction) r는 다음과 같이 표시하며, 횡좌표(transverse coordinate) theta는 수평선에 대해 반시계 방향입니다.

Velocity of Polar Coordinates(극좌표계에서 속도)

${\mathrm{v}=d\mathrm{r}/dt=d({r}u_r)/dt}$

$\Rightarrow{\mathrm{v}=\dot{{r}}u_r+r\frac{du_r}{dt}}$

체인 룰을 사용하여 du_r/dt는 다음과 같이 변경할 수 있습니다.

${du_r/dt=(du_r/d\theta)(d\theta/dt),\,\,du_r/d\theta=u_{\theta},\,\,\dot\theta=d\theta/dt}$

$\Rightarrow{du_r/dt=\dot\theta{u_{\theta}}}$ $\therefore{\mathrm{v}=\dot{{r}}u_r+{r}\dot\theta{u_{\theta}}}$

speed

$v=\sqrt{{(\dot{r})}^2+({r}\dot\theta)^2}$

Acceleration of Polar Coordinates(극좌표계에서 가속도)

${\mathrm{a}=d\mathrm{v}/dt=(d/dt)(\dot{{r}}u_r+{r}\dot\theta{u_{\theta})}$

$\Rightarrow{\ddot{{r}}u_r+\dot{{r}}\dot\theta{u_{\theta}}+\dot{{r}}\dot\theta{u_{\theta}}+{r}\ddot\theta{u_{\theta}}+r\dot\theta\dot{u_{\theta}}}$

다음 식을 이용하여 \dot{u}_{\theta}를 구합니다.

${\dot{u_{\theta}}=\lim_{\Delta{t\rightarrow0}}\frac{\Delta{u_{\theta}}}{\Delta{t}}=-(\lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta\theta}{\Delta{t}})u_r}$

$\Rightarrow{\dot{u}_{\theta}=-\dot\theta{u_r}}$

$\therefore{\mathrm{a}=a_ru_r+a_\theta{u}_\theta=(\ddot{r}-r\dot\theta^2)u_r+({r}\ddot\theta+2\dot{{r}}\dot\theta)u_\theta}$

Cylindrical Coordinates(원통 좌표계)

파티클이 공간 상의 곡선을 따라 이동할 때 그 위치는 공간 상의 고정된 점으로 볼 수 있으며, 벡터의 크기만 미분하여 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

${\mathrm{r}_P=ru_r+zu_z}$

$\Rightarrow{\mathrm{v}_P=\dot{r}u_r+r\dot\theta{u}_\theta+\dot{z}u_z}$

$\Rightarrow{\mathrm{a}_P=(\ddot{r}-r\dot\theta^2)u_r+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta)u_\theta+\ddot{z}u_z}$

Example 12.17

놀이기구의 의자가 r의 반지름을 갖는 수평 원형 궤적을 그리며 운동할 때 속도와 가속도의 반경방향과 횡좌표를 구하시오.

${r=r,\dot{r}=0,\ddot{r}=0}$

이므로

${v_r=0,v_\theta=r\dot\theta$

${a_r=-r\dot\theta^2,a_\theta=r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta=r\ddot\theta}$

Example 12.18

다음과 같이 움직이는 Collar Slide가 있습니다. t = 1s일 때 속도와 가속도를 결정하시오.

${\theta=(t^3)rad,r=(100t^2)mm}$

$\Rightarrow{\dot{r}=200t,\ddot{r}=200,\dot\theta=3t^2,\ddot\theta=6t}$

$\therefore{v=\dot{r}u_r+r\dot\theta{u}_\theta=200u_r+300u_\theta\,\,mm/s}$

$\Rightarrow{v_{mag}=\sqrt{(200)^2+(300)^2}=360.5mm/s}$

$\therefore{a=(\ddot{r}-r\dot\theta^2)u_r+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta)u_\theta=-700u_r+1800u_\theta}$

$\Rightarrow{a_{mag}=\sqrt{(-700)^2+(1800)^2}=1931.3mm/s^2}$

Example 12.19

불빛이 다음과 같을 때, theta=45도가 될 때의 속도와 가속도의 크기를 구하시오.

${\frac{100}{r}=\cos\theta,r=100/\cos{\theta}=100\sec\theta}$

$\Rightarrow{\dot{r}=dr/dt=(dr/d\theta)(d\theta/dt)=100(\sec\theta\tan\theta)\dot\theta}$

$\Rightarrow{\ddot{r}=d\dot{r}/dt=(d\dot{r}/d\theta)(d\theta/dt)=100\sec\theta\tan^2\theta(\dot\theta)^2+100\sec^3\theta(\dot\theta)^2+100(\sec\theta\tan\theta)\ddot\theta}$

${\dot\theta=4rad/s}$

$\Rightarrow{\ddot\theta=0}$

${r=100\sec45\degree=141.4}$

$\dot{r}=400\sec45\degree\tan45\degree=565.6$

$\Rightarrow{v=\sqrt{(565.6)^2+(565.6)^2}=799.8m/s}$

$\ddot{r}=1600(\sec45\degree\tan45\degree+\sec^3{45\degree})=6788.2$

$\Rightarrow{a=\sqrt{(6788.2-141.4*4^2)^2+(6788.2-141.4*4^2)^2}=6400.3m/s^2}$

Example 12.20

${r=0.15(1-\cos\theta)m}$

$\Rightarrow\dot{r}=0.15(\sin\theta)\dot\theta$

$\Rightarrow\ddot{r}={0.15[(\cos\theta)\dot\theta^2+(\sin\theta)\ddot\theta]}$

$if\,\theta=180\degree,\,v=1.2m/s,\,a=9m/s^2$

$\Rightarrow{r}=0.3,\dot{r}=0,\ddot{r}=-0.15\dot\theta^2$

$\Rightarrow{v=\sqrt{\dot{r}^2+(r\dot\theta)^2}=0.3\dot\theta=1.2,\dot\theta=4rad/s}$

$\Rightarrow{a=\sqrt{(\ddot{r}-r\dot\theta^2)^2+(r\ddot\theta+2\dot{r}\dot\theta)^2}=\sqrt{(-0.45*16)^2+(0.3\ddot\theta)^2}=9,\ddot\theta=18rad/s^2}$

Concept Quiz

파티클의 \dot{r}이 zero라면, 파티클은

A) 움직이지 않음.
B) 원형 운동을 함.
C) 직선 운동을 함.
D) 등속 운동을 함.

정답은 B)입니다. \dot{r}=0이면 r=상수이므로.

파티클이 일정한 속도로 원형 운동을 하면 반경 가속도는

A) 0
B) $\ddot{r}$
C) $-r\dot\theta^2$
D) ${2\dot{r}\dot\theta}$

정답은 C)입니다. 원형 운동은 r이 일정합니다.

${a_r=\ddot{r}-r\dot\theta^2}$

Attention Quiz

원형 운동하는 파티클의 속도의 반경 요소는 항상

A) 0
B) 상수
C) 횡 구성 요소보다 크다.
D) 횡 구성 요소보다 작다.

정답은 A)입니다. v_r=\dot{r}이며, r이 상수이므로 \dot{r}은 0이 됩니다.

원형 운동하는 파티클의 가속도 반경 요소는 항상

A) 음수
B) 경로의 중심을 향합니다.
C) 가속도의 횡 구성 요소와 직교합니다.
D) 모두 다.

정답은 D).

$a_r=\ddot{r}-r\dot\theta^2=-r\dot\theta^2$

이며 중심 방향을 향해 가로 구성 요소와 직교합니다.

Reading Quiz

파티클이 케이블에 연결되어 있다면, 파티클의 움직임은 _____다.

A) 항상 독립적
B) 항상 의존적
C) 의존적, (그러나 항상은 아님)
D) 해당 없음

정답은 C)입니다. 케이블이 늘어나지 않는다는 조건이 있어야 B)가 성립합니다.

파티클의 움직임이 다른 파티클에 의존적이라면, 파티클의 각 축은 _____다.

A) 경로 방향에 놓여야 한다.
B) 어디든 놓일 수 있다.
C) 같은 원점을 가져야 한다.
D) 해당 없음

정답은 A)입니다. 경로 방향으로 움직이겠죠?

Dependent Motion

그림 속 두 블록이 늘어나지 않는(inextensible) 코드로 연결되어 있다면, 두 블록은 서로 의존적인 운동을 합니다.

각각의 축은 고정점 또는 기준선에 의해 정의되며 운동 방향 쪽을 양수로 설정합니다.

코드가 고정된 길이를 가지고 있다면 다음과 같이 선의 길이를 측정할 수 있습니다.

${s_A+l_{CD}+s_B=l_T}$

l_T는 전체 선의 길이, l_{CD}는 도르레의 CD 부분에 걸친 선의 길이를 말합니다. 두 값은 상수이기 때문에 위 물체 A, B의 속도와 가속도는 다음과 같이 구해집니다.

$\Rightarrow{v_A=-v_B}$

$\Rightarrow{a_A=-a_B}$

Dependent Motion Example

더 복잡한 예시를 생각해봅시다. 위치 좌표(s_A, s_B)가 고정된 기준선에 의해 결정되었고, 각 물체의 운동 방향으로 측정되었습니다.

${2s_B+h+s_A=l}$

빨간 부분을 뺀 나머지 선의 길이는 다음과 같습니다.

$\Rightarrow{v_A=-2v_B}$

$\Rightarrow{a_A=-2a_B}$

측정 기준을 달리하면 어떨까요? 이번에는 s_B를 밑에서부터 측정했습니다.

${2(h-s_B)+h+s_A=l=3h-s_B+s_A}$

$\Rightarrow{2v_B=v_A,2a_B=a_A}$

Example 12.21

block B가 6m/s의 속력으로 위를 향할 때, block A의 속력을 결정하세요.

${3s_B+s_A=l}$

$\Rightarrow{v_A=-3v_B=18m/s\downarrow}$

speed = 18

Example 12.22

B가 6m/s의 속력으로 위로 올라올 때 A의 속력을 구하세요.

선이 2개로 구분되므로 각각 구해야 합니다.

${s_A+2s_C=l_1,s_B+(s_B-s_C)=l_2}$

$\Rightarrow{v_A=-2v_C,v_B=\frac12v_C}$

$\therefore{v_A=4v_B=24m/s\downarrow}$

Example 12.23

A가 2m/s로 아래로 향할 때, block B의 속력을 구하세요.

${s_C+s_B=l_1,(s_A-s_c)+(s_B-s_C)+s_B=l_2}$

$\Rightarrow{v_C=-v_B,v_A=-4v_B=2}$

${v_B=-0.5m/s=0.5m/s\uparrow}$

Example 12.24

사람이 v_A = 0.5m/s로 오른쪽으로 전진할 때 금고가 상승한다. 금고가 10m 올라가씅ㄹ 때 속도와 가속도를 구하시오. 로프 길이는 30m입니다.

${l_{DA}=\sqrt{15^2+x^2},l_{CD}=15-y,l=\sqrt{15^2+x^2}+(15-y)=30}$

$\therefore{y=\sqrt{225+x^2}-15=10}$

${x=\sqrt{25^2-225}=20}$

$\Rightarrow{v_s=\frac{dy}{dy}=[\frac12\frac{2x}{\sqrt{225+x^2}}]\frac{dx}{dt}}$

$\Rightarrow{\frac{x}{\sqrt{225+x^2}}v_A}$

$\therefore{v_s=0.4m/s=400mm/s\uparrow}$

$\Rightarrow{a_s=\frac{d^2y}{dt^2}=3.60mm/s^2\uparrow}$

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