[응용수학II] 베르누이 방정식 및 미분 방정식의 해의 존재, 유일성

Bernoulli DE (베르누이 방정식, reduction to linear)

위와 같은 미분 방정식을 베르누이 미분 방정식이라고 하며, u = y^{1-alpha}로 치환하여 u에 관한 선형 미분 방정식으로 식을 변경한 뒤 풀어낼 수 있습니다. 알파가 0, 1인 경우는 식 자체가 선형 미분 방정식이 됩니다.

위 식은 population model로, 방 안의 바이러스의 밀도의 증가율 등을 계산할 때 사용되는 식입니다. 위 식을 만족하는 y(x)를 구하여 봅시다.

1. y = 0

y = 0이면 도함수 y'도 0입니다. 따라서 주어진 미분 방정식을 만족하는 해가 됩니다.

2. y << => y' > 0

y'는 바이러스의 증가량, y는 바이러스의 총량이므로 y는 0보다 작아질 수 없습니다. y가 충분히 작을 때, y'은 0보다 커지게 됩니다.

3. y >> => y' < 0

반대로 y가 일정 수준을 넘어가게 되면, y' < 0이 됩니다.

이제 베르누이 미분 방정식을 풀어봅시다.

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Orthogonal Trajectories of Curves(곡선의 직교 궤적)

두 곡선에 접선이 존재하고, 두 접선이 서로 직교하는 상태를 직교 궤적이라고 합니다.

위 그림에서 파란색 곡선은 f(x,y)=c의 등고선이라고 할 수 있으며, 빨간 곡선이 이와 직교하는 궤적이라고 볼 수 있습니다. 이를 찾기 위해선 먼저 등고선의 식이 다음과 같이 표현되어야 합니다.

위와 같을 때 직교 궤적의 식은 다음과 같습니다.

왼쪽 그림의 등고선의 경우 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

하지만 이렇게 될 경우 c 때문에 미분 방정식을 계속해서 구해야 하니, 식 f(x,y) = c로 변경한 뒤 다시 구하겠습니다.

따라서 직교 궤적의 식은 다음과 같습니다.

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오른쪽 그림의 직교 궤적 식을 알아볼까요?

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직교 궤적 식은

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Existence & Uniqueness of Solutions for IVP(초깃값 문제에서 해의 존재와 유일성)

초깃값 문제에서 해가 존재하기 위한 조건

주어진 초깃값 문제(IVP, Initial Value Problem) y'=f(x,y), y(x0)=y0에서, f(x,y)의 정의역이 R: |x-x0| < a, |y-y0| < b일 때 f(x,y)가 연속적이고 |f(x,y)| <= K의 경계를 가지면,

초깃값 문제는 |x-x0| < min(a, b/K) 구간에서 적어도 하나 이상의 해 y(x)를 가집니다.

|f(x,y)|<=K는 함수 값이 무한히 커지지 않는 경우를 말하며, R: |x-x0| <= a, |y-y0| <= b인 경우에는 함수 f가 폐구간에서 연속이면 최댓값, 최솟값이 있다는 정리에 따라 bounded 조건이 불필요하지만, 우리는 경계점, 끝점에서 미분하는 경우를 다루지 않았기에 R: |x-x0| < a, |y-y0| < b 조건을 사용할 수 밖에 없어 bounded 조건이 추가된 것입니다.

영역이 min(a, b/K)로 지정된 이유는, K가 다음과 같이 설정될 때, a나 b/K 중 작은 값을 넘어가면 정의되지 않기 때문입니다.

사실 f(x,y)는 연속일 필요가 없고, y에 관해 연속, x에 관해 piecewise 연속이면 되지만, 조건을 조금 빡빡하게 준 것이라고 하네요..^^; piecewise continuous란 함수가 불연속하며, 불연속한 지점들로 나눴을 때 각각의 함수가 연속일 경우를 말한다고 합니다.

초깃값 문제에서 해가 유일하기 위한 조건

Uniqueness Theorem은 다른 조건은 모두 Existence Theorem과 같지만, 다음 조건이 추가됩니다.

해가 존재하나 유일하지 않은 예 #1

다음은 y=0일 때 성립하며, 적분을 통해서 일반해를 구할 수도 있습니다.

비선형이라 이런 결과가 생긴 걸까요? x가 c보다 작거나 같을 때는 0, 클 때는 식을 x축으로 c만큼 평행 이동하면 다음이 성립합니다.

이는 (0,0)에서 불연속합니다.

해가 존재하나 유일하지 않은 예 #2

다음은 범위 조건이 왜 필요한지에 대한 예시입니다.

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f가 연속하며, f'이 연속하지만 y=tan x일 경우 위 미분 방정식은 평면 전체에 대한 솔루션을 구할 수 없습니다.

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이상.