[동역학] 뉴턴의 운동 법칙, 운동 방정식, 직교 좌표 상의 운동 방정식

Newton's Laws of Motion (뉴턴의 운동 법칙)

Applications

물체의 움직임은 물체에 작용하는 힘에 의존합니다.

낙하산을 펼치면 공기 저항은 사람의 속도를 제한하고, 물체의 속도는 점차 더이상 증가하지 않는, 종단 속도에 근접합니다.

Reading Quiz

1. 뉴턴 제 2 법칙은 수식 𝚺F=ma로 쓰일 수 있습니다. 힘의 총합인 𝚺F에 ____는 포함되지 않습니다.

• A) 외력
• B) 무게
• C) 내력
• D) 모두

정답은 C) 내력입니다. 내력은 물체 내에서만 작용하기 때문입니다.

1. n-파티클 계의 운동은 𝚺F=𝚺m_ia_i=ma_G로 쓰일 수 있습니다. 이때 a_G가 가리키는 것은?

질량 중심점의 가속도입니다.

Newton's Laws of Motion

뉴턴의 3 법칙은 다음과 같습니다.

1. 제 1 법칙: 파티클이 멈춰있거나 등속 직선 운동하고 있을 때, 합력이 0이면 해당 상태를 유지합니다.

2. 제 2 법칙: 합력이 0이 아니면 파티클은 합력 방향으로 가속을 받고, 이 가속도는 합력에 비례합니다.

3. 제 3 법칙: 두 파티클 사이 작용 반작용력은 크기가 동일하고 서로 반대 방향으로 작용합니다.

이 중 제 2 법칙은 파티클이 빛의 속도 (=0.3 x 10^9 m/s)에 가까워지거나, 미시 세계에 해당하는 경우 작용하지 않습니다.

수학적으로 뉴턴 제 2 법칙은 다음과 같이 쓰여질 수 있습니다.

F는 파티클에 작용하는 불균형한 힘의 합력이며, a는 가속도입니다. 양의 스칼라 m은 파티클의 질량을 나타냅니다.

Newton's Law of Gravitational Attraction

어떠한 두 파티클이라도 서로 끌어당기는 인력, 만유인력을 갖습니다. 식은 다음과 같습니다.

• F: 두 물체 사이 작용하는 인력
• G: 중력 상수
• m1, m2: 두 물체의 질량
• r: 두 물체 사이의 거리

지구에 비해 인간의 질량은 작으므로 중력 가속도는 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

• me: 지구 질량
• r: 지구 반지름
• w: 무게, = mg

m=F/a에서 같은 F에 대해 m이 커지면 a가 작아지는 관계이므로, mass는 속도의 변화에 대해 저항하는 힘으로 볼 수 있습니다.

• w(N) = m(kg)g(m/s^2) => N = kg * m/s^2
• 영어권에서는 ft 단위를 사용합니다. g = 32.2 ft/s^2
• mass = 1 slug = 14.59 kg
• weight = 1 lb(pound) = 0.453592 kg * g = 4.4482 N

Acceleration of Gravity

달과 지구 사이 중력 비교하기

• r_m = 1730km
• r_e = 6370km
• m_e = 81 * m_m
• F_e / F_m = (m_e * r_m^2) / (m_m * r_e^2) = 81 * 1730^2 / 6370^2 = 5.974
• 지구와 달의 중력은 대략 6배 차이가 납니다.

Equation of Motion

합력을 구하는 식은 뉴턴 제 2 법칙을 사용하여 다음과 같습니다.

합력의 방향을 그려보기 위해서는 먼저 free-body diagram을 그린 후, 각 힘에 평행한 선이 만나는 지점을 향하는 kinetic diagram을 그립니다.

Inertial Frame of Reference(관성 기준 좌표계)

위에서 설명한 운동 방정식은 가속도가 Newtonian 혹은 관성 기준 좌표계에서 측정되었을 때 유효합니다.

지표면, 혹은 지표면 근처에서 운동하는 물체의 경우 inertial frame을 지구에 고정되어 있다고 생각합니다. 이를 통해 지구의 회전으로 생기는 가속도를 무시할 수 있습니다.

파티클 계

운동 방정식은 파티클에서 파티클 계로 확장할 수 있습니다. 이때에는 질량 m을 각 파티클의 질량의 합으로, 가속도 a는 파티클 계의 질량 중심점의 가속도로 설정합니다.

F의 합은 파티클 계에 작용하는 외력의 합입니다.

Key Points

1. 뉴턴 제 2 법칙은 실험적으로 밝혀진 것이며 논리적인 증명의 결과가 아닙니다.
2. 질량은 물체가 가지는 속도의 변화에 대한 저항 값을 측정한 것입니다.
3. 행성의 중심으로 끌어당겨지는 힘인 무게는 중력장의 영향을 받습니다. 무게를 구하는 식은 F=ma 식을 사용하여 W=mg가 됩니다.
4. 불균형한 힘은 물체를 가속합니다. 모든 동역학 문제의 기본..!

운동 방정식을 적용하는 순서

1. 사용하기 편리한 관성 기준 좌표계를 선택합니다: Rectangular, normal/tangential, cylindrical 좌표계가 사용될 수 있습니다.
2. free-body 다이어그램을 그려 파티클에 작용하는 모든 외력을 표시합니다. 각 힘을 좌표계의 적절한 요소로 표현하세요.
3. kinetic 다이어그램을 그려 파티클의 관성력, ma를 표현합니다. 적절한 요소로 표현하세요.
4. 운동 방정식을 스칼라 요소 형태로 표현합니다. 이 방정식을 풀어 미지수를 구할 수 있습니다.
5. 추가적인 식을 구하기 위해 kinematic relation을 사용하는 게 필요할 수 있습니다.

Concept Quiz

1. 블록(mass=m)이 속력 v로 위를 향해 움직일 때, 마찰계수가 μk인 FBD(Free-Body Diagram)를 그리세요.

마찰력은 받는 힘에 비례하며, 이동 방향의 반대로 작용하므로 (뉴턴 제 3 법칙) B가 됩니다.

Equation of Motion: Rectangular(직교 좌표계에서 운동 방정식)

물체를 x축 기준 움직이는 힘은 F * cos(30)

Reading Quiz

1. 동역학에서, 움직이는 물체에 작용하는 마찰력은 언제나 _____입니다.

• A) 운동 방향
• B) 운동 마찰
• C) 정지 마찰
• D) 0

정답은 B)입니다. 운동 방향의 반대로 작용하며, 운동 마찰입니다.

1. 파티클이 탄성력이 F = ks로 표현되는 스프링에 연결되어 있다면, 식에서 s가 의미하는 것은 ____입니다.

• A) 스프링 상수
• B) 변형되지 않은 스프링의 길이
• C) 스프링의 변형된 길이와 변형되지 않은 길이의 차
• D) 변형된 스프링의 길이

정답은 C)입니다. s는 스프링이 늘어난만큼을 의미합니다.

Equation of Motion

F = ma는 힘, 가속도, 속도 혹은 질량을 찾을 때 사용됩니다. 불균형한 힘이 가속도를 만드는 것을 잊지 마세요!

세 개의 스칼라 방정식이 벡터 식으로부터 도출될 수 있습니다.