[동역학] 직선 운동과 곡선 운동

Review

• 변위를 변화된 시간만큼 나누면 = 평균속도
• 평균속도를 미분하면 시간 t의 순간속도
• 속력은 속도의 스칼라 값 (v = ds/dt)
• 평균속력은 총 이동거리(s_T) / 이동 시간(delta t)
• 평균속도의 크기는 평균속력이 아님
• 총 이동 거리는 변위가 아니기 때문
• 등가속도 운동은 자유낙하나 포물선 운동에서 나타남
• 공기 저항력은 속도의 세제곱에 비례
• 예시: a = (-0.4v^3)m/s^2

Example 12.3

위를 향해 발사한 로켓이 75m/s로 올라가고 있습니다. 그런데 땅에서부터 40m 지점에서 엔진이 고장났습니다. 로켓이 올라갈 수 있는 최대 고도 s_B와 땅에 부딪치기 전 속도 v_C를 구하세요. 로켓은 떨어질 때 9.81m/s^2의 중력 가속도로 땅을 향해 수직으로 떨어집니다. 공기 저항은 무시합니다.

최대 고도

속도

Example 12.4

금속 파티클이 자기장의 영향 안에서 A에서 B로, 아래로 이동하고 있습니다. 파티클이 중점 C(s = 100mm)에서 출발했고 가속도 a = (4s) m/s^2일 때(s는 미터), 자석판 B(s = 200mm)에 물체가 도달했을 때의 속도와 C에서 B까지 도달하는 데 걸린 시간을 계산하세요.

속도

이동 시간

Example 12.5

파티클이 수평 방향으로 v = (3t^2 - 6t)m/s의 속도로 이동하고 있습니다.(t는 초 단위) t=0일때 파티클은 원점에 존재한다면 t = 3.5s일 때의 변위와 파티클의 평균속도, 파티클의 평균속력을 구하세요.

변위

평균속도

평균속력

12.3 불규칙 운동

속도나 가속도가 관계를 가지고 위치를 구한다던지 하는 문제는 식이 정해져 있거나 일정한 패턴이 있습니다. 그렇다면 이러한 패턴이 복잡한 불규칙 운동은 어떻게 해결할 수 있을까요? 이러한 문제는 하나의 수식으로 풀 순 없으니 측정을 통해 그래프, 다이어그램을 그려야 합니다.

s-t -> v-t -> a-t -> v-s -> a-s 등 하나를 알면 유기적으로 알 수 있습니다.

Reading Quiz

1. v-t 그래프의 순간 기울기는?

• A) 속도
• B) 가속도
• C) 위치
• D) 용상 (가속도를 시간에 대해 미분한 것)

답은 B), 가속도입니다. 속도-시간 그래프에서 순간 기울기는 dv/dt = d^2s/dt^2, 즉 가속도가 됩니다.

1. 주어진 시간 동안 파티클의 변위는 ___ 그래프의 일정 시간 동안의 넓이와 같다.

• A) a-t
• B) a-s
• C) v-t
• D) s-t

답은 C), v-t 그래프입니다. 변위는 속도를 적분하여 구합니다.

Application

많은 실험을 통해 다음과 같은 velocity versus position(v-s) 측정값을 얻었습니다. 다음과 같은 v-s 그래프를 얻었을 때, 위치 s = 300m일 때 가속도 값은 무엇일까요?

ads = vdv이므로 a = vdv / ds입니다. 고로 가속도 a = 60(60 - 20) / (300 - 50) = 9.6m/s^2

s-t 그래프

position vs. time 그래프를 미분하면 velocity vs. time 그래프를 얻어낼 수 있습니다.

v-t 그래프

velocity vs. time 그래프를 미분하면 acceleration vs. time 그래프를 얻을 수 있습니다.

a-t 그래프

acceleration vs. time 그래프를 적분하면 v-t 그래프를 얻을 수 있습니다.

Example 12.6

자전거가 직선 도로를 다음 그래프를 따라 이동하고 있습니다. 0 <= t <= 30s일때의 v-t 그래프와 a-t 그래프를 구하세요.

v-t 그래프

a-t 그래프

Example 12.7

자동차가 직선 트랙을 10m/s^2으로 10s 간 가속하고, 이후 2m/s^2으로 감속한다면, 이때 v-t와 s-t 그래프를 그리고 자동차가 멈추는 t'를 구해보세요. 자동차는 얼마나 이동했을까요?

v-t 그래프

s-t 그래프

t'

s

Concept Quiz

1. 파티클이 다음 그래프와 같이 이동한다고할 때, t = 20s 시점의 파티클의 속도는?

• A) 200m/s
• B) 100m/s
• C) 0
• D) 20m/s

위 그림은 a-t 그래프이며 속도는 t = 0 ~ 20까지 그래프의 넓이입니다. 답은 B)

1. 위 문제에서 파티클은 t = ___에서 멈춥니다.

• A) 10s
• B) 20s
• C) 30s
• D) 40s

답은 D), 40s입니다. 20s 동안 가속했으니, 같은 기울기로 20s 동안 감속하여야 파티클이 멈출 수 있습니다.

a-s 그래프

a-s 그래프와 s 축이 이루는 영역의 넓이는 속도의 변화량을 나타냅니다.

적분을 통해 velocity versus distance (v-s) 그래프를 생성할 수 있습니다.

v-s 그래프

a = v(dv/ds)이므로 미분하여 a-s 그래프를 얻을 수 있습니다.

Example 12.8

오토바이의 움직임을 나타낸 v-s 그래프가 다음가 같을 때, a-s 그래프를 만들고, s = 160m에 도달하기 위해 필요한 시간을 구하세요.

a-s 그래프

t for s = 160m

12.4 Curvilinear Motion(곡선 운동)

곡선 운동을 하려면 좌표가 두 개 필요합니다. 즉, 곡선 운동은 이차원 운동입니다. 좌표의 종류에는 여러가지가 있지만, (x, y)를 사용하는 좌표계를 Rectangular Components(직각 성분 좌표계)라고 합니다.

Reading Quiz

1. 곡선 운동에서 순간 속도는 언제나 ___를 따릅니다.

• A) tangent of Hodograph
• B) perpendicular of Hodograph
• C) tangent of Path graph
• D) perpendicular of Path graph

곡선 운동의 위치와 변위

곡선 운동의 변위도 직선 운동의 변위와 마찬가지로 r' - r로 측정합니다. Path는 파티클의 위치를 모은 그래프이며, 임의의 순간의 slope가 속도가 됩니다. 속도는 곡선 운동의 Path의 tan라고 할 수 있습니다.

곡선 운동의 가속도

곡선 운동의 속도를 몽느 그래프를 Hodograph라고 하며, 호도그래프의 탄젠트가 곡선 운동을 하는 파티클의 가속도가 됩니다. 또한, Path의 perpendicular 방향(접선에 직각이며 원접을 향하는 방향)으로 가속도가 작용합니다.

곡선 운동의 그래프 표현

곡선 운동은 좌표계로 (x, y, z)를 사용하며, 파티클의 위치 r은 단위 벡터를 사용하여 r = xi + yj + zk 선형 결합 형태로 표시할 수 있습니다. 원점과의 거리는 유클리드 거리를 사용하여 (x^2 + y^2 + z^2)^0.5로 측정할 수 있으며, 정규화를 위한 식은 u_r = (1/r)r입니다.