[응용수학II] Ordinary(Particular) Differentiation Equations

기본 미분식

(chain rule)

기본 적분식

Introduction to ODE

Ordinary Differentiation Equations(상미분방정식)

함수의 도함수, 2계 도함수, n계 도함수 등에 대한 관계식을 가지고 해당 함수를 찾아내는 방정식입니다. 일반적인 방정식은 x에 대한 관계식

이 주어졌을 때 x를 찾는 일을 "방정식을 푼다"고 표현합니다. 마찬가지로 상미분방정식

또는

등 도함수의 관계식이 주어졌을 때 y 함수를 찾는 과정을 "미분방정식을 푼다"고 합니다.

을 풀어봅시다. 해당 식을 적분하면

가 나옵니다. 그렇다면 적분이 "미분방정식을 푼다"와 동일한 말일까요? 어떤 의미에서는 그럴 수도 있다고 합니다. 다만, 미분방정식의 형태가 적분만으로 해결되지 않을 수 있습니다.

다음 식은

는 y가 x에 관한 함수 임을 가정하고 있습니다. 혹은 다음과 같이 주어질 수도 있습니다.

두 식 모두 솔루션은 함수 형태이며, 해가 유일하지 않을 확률이 높습니다.

위와 같이 미지의 상수를 포함하는 솔루션을 General Solution(일반해)이라고 부르며, 지금 같은 경우에는 일반해가 주어진 미분 방정식의 해의 전부입니다. 이때에는 The General Solution이라고 표기하여 해당 사실을 나타낼 수 있습니다.

일반해에서 y(1)=0과 같이 독립변수를 특정하였을 때 나타나는 해를 Particular Solution(특수해)이라고 합니다.

일반해가 항상 모든 해를 나타내지는 않습니다. 일반해에 속하지 않는 해를 Singular Solution(특이해)이라고 합니다. Singular Solution이 존재할 경우 General Solution을 표기할 때 A General Solution이라 칭하여 Singular Solution의 존재를 알릴 수 있습니다. Singular Solution은 비선형 미분방정식에서 나타납니다.

Explicit(Implicit) Form

맨 위의 형태를 ODE의 Explicit Form, 맨 밑 형태를 Implicit Form이라 합니다.

Order(차수)

방정식의 차수는 미지수로 가진 것의 최대 차수로 결정됩니다. 미분 방정식은 몇 계 도함수인지에 따라 차수가 결정됩니다. 예를 들어

의 경우, y''가 2계 도함수이기 때문에 2계 ODE가 됩니다.

Homogeneous(Non-homogeneous) DE

이면 homogeneous,

이면 non-homogeneous라고 볼 수 있습니다. 물론 이는 함수가 linear 할 때 성립합니다.

Autonomous

위에서 보였던 예시 중

와

은 Autonomous하다고 합니다. Autonomous는 y'=f(y)의 형태, 즉 x가 y'의 관계에서 표현되지 않는 것을 말합니다.

Initial Value Problem(IVP) & Boundary Value Problem(BVP)

IVP는 초기값 문제, BVP는 경계값 문제라고 하며, 조건을 통해 적분 상수 c가 하나로 결정될 때 IVP, 범위로 결정될 때 BVP라고 합니다.

Linear DE

선형 미분 방정식의 "선형"은 직선이란 의미에서 선형이 아니라 1차를 의미하는 선형입니다. 일례로 선형 근사식은 적평면 상에 존재하며, 이는 직선이 아닙니다. 평면 상 직선과 공간 속 평면은 1차로 볼 수 있으며 이를 Linear라고 칭하는 것입니다.

x는 함수가 아니라 독립변수이기 때문에 y, y의 도함수로 선형적 관계를 구성할 수 있으며, y와 y의 도함수를 사용하는 1차식을 만들면 선형 미분 방정식이 됩니다.

선형 미분 방정식의 예

: 선형

: 선형

: 비선형 (y''y'와 sin y 때문)

: 비선형 ((y')^2 때문) 함수가 아니라 독립변수이기 때문에 y, y의 도함수로 선형적 관계를 구성할 수 있으며, y와 y의 도함수를 사용하는 1차식을 만들면 선형 미분 방정식이 됩니다.

선형 미분 방정식의 예

: 선형

: 선형

: 비선형 (y''y'와 sin y 때문)

: 비선형 ((y')^2 때문)

: 선형, 1계 선형 연립 방정식

Linear Combination

선형대수에서는 벡터를 다룹니다. 두 벡터를 가지고 선형 결합을 만들어라, 두 벡터가 선형인가? 두 벡터가 1차식으로 표현이 되는가? 등의 질문이 모두 벡터가 선형이냐고 묻는 말입니다.

두 벡테의 선형결합은 양 벡터에 실수를 곱하여 서로 더한 것을 의미합니다.

예를 들어 좌표 평면 상에

가 있다고 합시다.

를 계산해봅시다. 예를 들어 c1=3, c2=2인 경우,

입니다. 이를 통해 우리는 평면 위의 임의의 위치 벡터가 i, j의 선형 결합으로 표시된다는 사실을 알 수 있습니다.

벡터와 달리 함수의 선형결합은 어떻게 될까요?

로 표시할 수 있습니다.

Example 2

General Solution

Particular Solution

Singular Solution은 존재하지 않습니다.

 

guess:

verify:

General Solution

guess 2:

verify 2:

Singular Solution

주어진 관계식을 y'에 관한 2차 방정식으로 생각하고 판별식을 사용하면

입니다. 해당 식이 0보다 크거나 같아야지만 유리수 영역에 해가 존재하기 때문에

의 그래프는

영역에 나타날 수 없습니다.

에 Singular Solution이 존재할 수 있는 이유는,

가 존재하여 비선형 미분 방정식이기 때문입니다.