역학

역학은 물체에 힘이 가해지면 어떻게 반응하는지에 대해 배우는 학문입니다. 역학은 다시 평형 상태의 물체에 다루는 정역학과 Kinematics, Kinetics로 이루어진 동역학으로 나뉩니다. 다리의 기둥에 걸리는 부하 등을 계산하는 게 정역학이고, 힘이 작용할 때 물체의 속도, 가속도, 변위, 위치를 계산하는 게 Kinematics(운동학)입니다. Kinematics에서는 힘 자체에 대해서는 다루지 않습니다. 물체의 속도, 가속도, 변위, 위치와 힘의 관계까지 다루는 학문이 Kinetics(동역학)입니다.

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Particle(질점)의 특징

동역학에서 질점은 질량만 가지고 크기와 부피를 가지지 않습니다. 따라서 파티클에 힘을 가하면 병진 운동은 할 수 있지만 회전 운동은 하지 못합니다.

Particle(질점)과 Rigid Body(강체)의 차이

강체는 질점과는 다르게 크기, 부피를 가지며, 따라서 힘이 가해졌을 때 회전 운동이 발생할 수 있습니다.

평균 속력

Average Speed(평균 속력)는 s\_T/Δt로 정의되며, 그 의미는 (전체 이동 거리) / (경과 시간)입니다. 따라서 (변위) / (측정 시간)으로 나타나는 평균 속도의 크기와는 다르다고 할 수 있습니다.

Applications 1

로켓, 비행기, 자동차 등 큰 물체의 움직임은 종종 파티클인 것처럼 계산됩니다. 왜 그렇게 할까요? 그 이유는 바로 강체의 여러 점의 운동 방향이 동일하기 때문입니다. 물체의 모든 점이 같은 운동을 하니 해당 물체는 파티클로 판단이 가능합니다. 다만, 급가속/급제동의 경우에는 물체마다 이동 속도 등이 다르며, 이때에는 물체를 강체로 판단하여야 합니다.

Applications 2

로켓의 고도를 시간에 따른 함수로 측정하였다면, 속도와 가속도는 어떻게 결정할 수 있을까요? 이는 미분을 통해 가능합니다. 위에서 잠깐 언급한 것과 같이 평균 속도는 (변위) / (측정 시간)으로 알 수 있고, 이를 특정 시점으로 정의하면 순간 속도를 알 수 있습니다.

Position and Displacement(위치와 변위)

축 s로 정의된 직선 경로를 이동하는 파티클을 생각해봅시다. 파티클의 위치는 원점 O를 기준으로 벡터 r 혹은 스칼라 s로 표현됩니다. 스칼라 s는 이동 방향에 따라 양수 혹은 음수가 될 수 있습니다. r과 s의 단위는 meter(m)를 사용합니다.

파티클의 변위는 위치의 변화량으로 정의됩니다. 벡터 형태로는 Δr = r' - r, 스칼라 형태로는 Δs = s' - s입니다. 파티클의 총 운동 거리는 s_T로 표현되며, 파티클의 전체 이동 거리를 의미하며 양의 스칼라로 표현됩니다.

Velocity(속도)

속도는 파티클의 위치 변화율을 측정한 것입니다. 벡터 단위이며 크기와 방향을 가집니다. 속도의 크기는 Speed(속력)라 하며, 단위는 m/s를 사용합니다. 시간 간격 Δt 동안 파티클의 평균 속도는 𝒗_avg = Δr/Δt이며, 순간 속도는 위치를 시간으로 미분한 𝒗 = dr/dt입니다.

속력은 속도의 크기로, v = ds/dt입니다. 평균 속력은 측정 시간 간 총 이동 거리로 (v_sp)_avg = s_T / Δt입니다.

Acceleration(가속도)

가속도는 파티클 속도의 변화율로, 벡터 단위이며, 단위는 m/s^2입니다. Instantaneous Acceleration(순간 가속도)은 속도를 시간으로 미분한 것이며, 벡터 형태로는 a = d𝒗/dt, 스칼라 형태로는 a = dv/dt= d^2s/dt^2를 따릅니다.

가속도는 속도가 늘고 줄어듦에 따라 양/음의 값이 될 수 있습니다. 또한 속도와 가속도의 식에서 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다. a * ds = v * dv

Summary of Kinematic Relations: Rectilinear Motion(직선 운동)

위치를 미분하여 속도와 가속도를 얻을 수 있습니다.

v = ds/dt; a = dv/dt = v * dv / ds

가속도를 적분하여 속도와 위치를 얻을 수 있습니다.

가속도

$\int_{v0}^{v}dv=\int_{0}^{t}a\cdot&space;dt$

$\int_{v0}^{v}v\cdot&space;dv=\int_{s0}^{s}a\cdot&space;ds$

위치

$\int_{s0}^{s}ds=\int_{0}^{t}v\cdot&space;dt$

s_0, v_0은 t=0일 때 파티클의 초기 위치와 속도를 나타냅니다.

Constant Acceleration(등가속도)

아래 세 개의 식은 가속도가 상수인 경우 적분할 수 있는 유용한 식입니다. 등가속도가 적용되는 일반적인 예시로는 중력이 있습니다. 이 경우 등가속도 a_c = g = .81 m/s^2로 아래로 떨어지고 있습니다.

속도

$\int_{v0}^{v}dv=\int_{0}^{t}a_c\cdot&space;dt$

yields

$v=v_0+a_ct$

거리

$\int_{s0}^{s}ds=\int_{0}^{t}v\cdot&space;dt$

yields

$s=s_0+v_0t+(1/2)a_ct^2$

vdv = ads

$\int_{v0}^{v}vdv=\int_{s0}^{s}a_c\cdot&space;ds$

yields

$v^2=(v_0)^2+2a_c(s-s_0)$

Example 12.1

자동차가 직진한다고 할 때 t의 단위가 초일 때, v = (0.6t^2 + t) m/s가 성립한다고 합니다. t=3s일 때 자동차의 위치와 가속도는 무엇일까요? 자동차의 초기 위치는 0입니다.

위치

$\int_{s0}^{s}ds=\int_{0}^{t}(0.6t^2+t)dt$

이므로,

$s=(0.2t^3+0.5t^2)m$

t = 3s일 때,

$s=0.2(3)^3+0.5(3)^2)=9.90m$

= 9.90m

가속도

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(0.6t^2+t)=(1.2t+1)m/s^2$

이므로, t = 3s일 때,

$a=1.2(3)+1=4.6m/s^2\rightarrow$

벡터에는 진행 방향으로 화살표를 붙여주어야 합니다.

Example 12.2

작은 총알이 수직으로 수면 아래로 60 m/s 속도로 쏘아졌습니다. 유체의 저항 때문에 총알은 a = (-0.4v^3) m/s^2의 감속을 받습니다. v는 m/s 단위입니다. 발사 4초 후 총알의 속도와 위치를 계산하세요.

속도

a는 v에 관한 식이기 때문에 등가속도 운동이라 볼 수 없습니다. 따라서

$a=\frac{dv}{dt}=-0.4v^3$

$\int_{v0}^{v}\frac{dv}{-0.4v^3}=\int_{0}^{t}dt$

$\frac1{-0.4}$\frac1{-2}$\frac1{v^2}|^v_{60}=t-0$

$\frac1{0.8}\[\frac1(v^2)-\frac1{$60$^2}\]=t$

$v=\{\[\frac1{$60$^2}+0.8t\]^{-1/2}\}m/s$

v = 0.559 m/s↓

위치

v = f(t)이므로, 총알의 위치는 v = ds/dt를 적분하여 얻을 수 있습니다.

$\int_{0}^{s}ds=\int_{0}^{t}\[\frac1{$60$^2}+0.8t\]^{-1/2}dt$

$s=\frac2{0.8}\[\frac1{$60$^2}+0.8t\]^{1/2}|^t_0$

$s=\frac1{0.4}\{\[\frac1{$60$^2}+0.8t\]^{1/2}-\frac1{60}\}m$

t = 4s일 때, s = 4.43m

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Velocity(속도)

Acceleration(가속도)

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위치를 미분하여 속도와 가속도를 얻을 수 있습니다.

가속도를 적분하여 속도와 위치를 얻을 수 있습니다.

가속도

위치

Constant Acceleration(등가속도)

속도

거리

vdv = ads

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위치

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속도

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