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Robotics

61일차 - 차원과 단위, SI 단위계, 위치 에너지, 운동 에너지, 역학적 에너지 [쉽게 배우는 기계공학 개론]

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차원과 단위

물리량의 성질을 표현하기 위해 사용되는 변수를 차원(dimension)이라 합니다. 거리를 L, 시간을 T로 나타내면 속도(= 단위 시간에 이동한 거리)는 L/T 차원이 됩니다.

이에 반해 단위(unit)는 인위적으로 정한 크기를 기준으로 차원을 표현하기 위해 사용되며, m/s, cm/s, km/min, km/hr 등 여러 가지 형태로 표현될 수 있습니다. 따라서 단위는 기준에 따라 다를 수 있으므로 국제적으로 공인된 SI 단위계(Standard International unit)를 표준으로 사용합니다.

SI 단위

SI 단위에는 7개의 기본 단위와 2개의 보조 단위가 있으며, 이는 다음과 같습니다.

SI 기본 단위

기본량(차원) 기호 명칭
질량 kg 킬로그램
길이 m 미터
시간 s
온도 K 켈빈
물질량 mol
전류 A 암페어
광도 cd 칸델라

SI 보조 단위

기본량(차원) 기호 명칭
평면각 rad 라디안
입체각 sr 스테라디안

절대단위계, 중력단위계

  • 절대단위계(MLT 계): 기준량으로 질량(M), 길이(L), 시간(T)을 잡고 이들을 기본으로 하여 다른 단위를 나타내는 것.
  • 중력단위계(FLT 계): 기준량으로 힘(F), 길이(L), 시간(T)을 잡고 이들을 기본으로 하여 다른 단위를 나타내는 것.

MLT 계를 사용하여 가속도 a와 밀도 p를 표현하여 봅시다.

  • a = dv/dt = L/T / T = LT^-2
  • p = 질량/부피 = M/L^3 = ML^-3

뉴턴의 운동 법칙 F = ma에서 힘의 차원은 MLT 계를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

  • F = ma = MLT^-2

이를 다시 FLT 계로 나타내면 질량 m의 차원을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

  • m = F/a = FL^-1T^2

기본 차원과 SI 단위를 나열한 표는 다음과 같습니다.

물리량 차원 이름 SI 단위
질량 M kilogram kg
길이 L meter m
시간 T second s
온도 theta Kelvin K
평면각 radian rad

역학에 관한 단위계

  1. MKS 단위계 (SI 단위계): 길이(m), 질량(kg), 시간(s)을 기본 단위로 하는 단위계. 힘의 단위는 N(Newton), 압력은 Pa(Pascal), 일과 에너지는 J(Joule), 동력(일률)은 W(Watt)입니다.
  • 1N: 1kg의 물체에 1m/s^2의 가속도를 내게 하는 힘

    • 1N = 1kg * m/s^2
  • 1J: 1N의 힘을 작용하여 1m 이동했을 때 한 일

    • 1J = 1N * m
  • 1Pa: 1N의 힘이 1m^2에 수직으로 작용했을 때의 압력

    • 1Pa = 1N * m^2
  • 1W: 1초에 1J의 일을 할 때의 일률

    • 1W = 1J/s = 1N * m/s
  1. cgs 단위계: 길이(cm), 질량(g), 시간(s)을 기본 단위로 하는 단위계.
  • 1dyne: 1g의 물체에 1cm/s^2의 가속도를 일으키는 힘

    • 1dyne = 1g * cm/s^2 (1N = 10^5dyne)
  • 1erg: 1dyne의 힘을 작용하여 1cm 이동했을 때 한 일

    • 1erg = 1dyne * cm
  1. 중력 단위계: 길이(m), 시간(s)와 힘의 단위 kgf를 사용합니다.
  • 1kgf: 질량 1kg의 물체에 작용하는 중력 (1kg의 무게)

    • 1kgf = 9.80665N ≈ 9.8N
  • 질량 m인 물체의 무게 W = mg이므로 1kgf = 1kg * 9.8m/s^2 = 9.8kg * m/s^2 = 9.8N

일반적으로 기계공학 문제에서는 중력 가속도 g = 9.8m/s^2 설정하고 계산합니다.

일, 동력, 에너지

힘 F(N)가 물체에 작용하여 힘과 같은 방향으로 물체가 s(m)만큼 이동하였을 때, 힘 F가 물체에 대하여 한 일 W(J)은 W = Fs로 나타낼 수 있습니다. 즉, 일 = 힘 x 거리입니다.

  • W = Fs

1N의 힘이 작용하여 힘의 방향으로 1m 이동하였을 때 한 일의 양은 1J(Joule)이라 합니다.

  • 1J = 1N * m

동력

단위 시간 동안 한 일의 양을 동력이라 합니다. 시간 t 동안 한 일의 양이 W이면 동력 H = W / t로 나타낼 수 있습니다. 1초 동안 1J의 일을 했을 때의 동력을 1W(Watt)라고 합니다.

  • H = W / t
  • 1W = 1J/s

F의 힘이 작용하여 같은 방향으로 속도 v로 운동하는 물체의 동력(H)는 다음과 같습니다.

  • H = Fv = W/t = Fs/t
  • W = Fs
  • v = s/t

일반적으로 많이 사용하는 동력 단위에는 kW와 마력(PS)이 있습니다.

  • 1kW = 1000W = 1000N * m/s = 1000/9.8kgf * m/s = 102kgf * m/s

  • 1PS = 75kgf * m/s = 735.5W ~ 736W = 735.5 ~ 736N * m/s

  • 힘 F와 속도 v의 단위가 각각 N, m/s일 때,

    • H_ps = Fv / 736(PS)
  • 힘 F와 속도 v의 단위가 각각 kgf, m/s일 때,

    • H_ps = Fv / 75(PS)

에너지

일을 할 수 있는 능력을 에너지라고 하며, 그 저장 형태에 따라 역학적 에너지, 전기 에너지, 원자력 에너지 등이 있습니다. 에너지의 단위는 일의 단위(J)와 같고, 에너지의 종류에 따라 cal(열 에너지), Wh(전기 에너지), eV(원자력 에너지) 등을 사용합니다. SI 단위 J와 cal, Wh, eV의 관계는 다음과 같습니다.

  • 1cal = 4.18681J
  • 1Wh = 3600J
  • 1eV = 1.60217733 x 10^-19J

운동 에너지, 위치 에너지, 역학적 에너지

  1. 운동하는 물체가 가지고 있는, 일을 할 수 있는 능력을 운동 에너지라고 하며, 속도 v로 운동하는 질량 m인 물체의 운동 에너지(E_k)는 다음과 같습니다.
  • E_k = 0.5mv^2
  1. 힘을 받는 공간에서 물체의 위치를 바꾸게 되면 그 물체의 일을 할 수 있는 능력이 증가하거나 감소하게 됩니다. 이와 같이 위치에 따라 발생하는 일을 할 수 있는 능력을 위치 에너지라고 합니다. 위치 에너지는 물체를 기준 위치로부터 그 지점까지 옮기는 데 필요한 일의 양과 같습니다. 기준 위치를 지면으로 할 때 지면으로부터 높이 h에 있는 질량 m인 물체의 중력에 의한 위치 에너지 E_p는 다음과 같습니다.
  • E_p = mgh

위치 에너지는 기준 위치 값을 0으로 하고, 기준 위치로부터 측정한 양을 나타내므로 +/0 형태로 나타날 수 있습니다.

  1. 위치 에너지와 운동 에너지를 합하여 역학적 에너지라고 합니다. 역학적 에너지는 다른 말로 기계적 에너지라고도 부릅니다.

단위 연산

차원이 있는 물리량을 계산할 때 단위 연산을 하는 경우, 단위를 문자와 같이 취급하여 연산합니다.

예 1.4.1

높이 h = 1960cm에서 자유낙하한 공이 지면에 떨어졌을 때의 공의 속력을 구하세요. 중력 가속도 g = 9.8m/s^2입니다.

  • v = L/T, g = L/T^2, h = 1/2 * g * T^2 = 1/2 * L
  • v = (2gh)^1/2 = (2 * 9.8m/s^2 * 19.60m)^1/2 = 19.6m/s

예 1.4.2

똑바로 위로 v = 980cm/s의 속력으로 쏘아올린 공이 올라갈 수 있는 최고 높이.

  • h = v^2 / 2g = (9.8m/s)^2 / 19.6m/s^2 = 4.9m

예 1.4.3

넓이 A에 작용하는 수직 방향 힘이 F일 때, 응력 sigma = F/A입니다. 넓이 A=1mm^2, 힘 F=1kgf일 때 응력 sigma는 몇 Pa인가요?

  • 단위를 직접 연산하는 방법:

    • sigma = F/A = 1kgf / 1mm^2 = 9.8N / (10^-3m)^2 = 9.8 * 10^6Pa
  • 주어진 단위를 모두 MKS 단위계인 m, N으로 통일하여 계산하는 방법:

    • F = 1kgf = 9.8N
    • A = 1mm^2 = 10^-6 m^2
    • sigma = 9.8 / 10^-6 = 9.8 * 10^6 Pa

예 1.4.4

2kN의 힘을 받고 3m/s의 속도로 운동하는 물체의 동력(H)는 몇 W인가요?

  • 단위를 직접 연산하는 방법:

    • H = Fv = 2kN * 3m/s = 2000N * 3m/s = 6000W
  • 주어진 단위를 모두 MKS 단위계인 m, N으로 통일하여 계산하는 방법:

    • F = 2kN = 2000N
    • v = 3m/s
    • H = Fv = 2000 * 3 = 6000W
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